Минимумы и максимумы. 1. Задача Фаньяно.

Поговорим немного о некоторых задачах, связанных с нахождением минимума и максимума свойств некоторых геометрических фигур. Начнем цикл таких задач с одной крайне популярной.

Задача Фаньяно.

В начале XVIII века итальянский инженер и математик Фаньяно деи Тоски (1682—1766, один из отцов-основателей эллиптического интеграла) поставил следующую задачу:

Вписать в данный остроугольный треугольник АВС треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой сторон лежала одна вершина треугольника.

Как известно, ответ на нее довольно прост: у ортотреугольника.

Докажем сей замечательный факт: отразим точку А₁ относительно сторон АС и АВ. Получились точки А₂ и А₃. Тогда из равенства отрезков, надо минимизировать длину ломанной А₂ВСА₃. Отсюда ее наименьшая длина равна отрезку А₂А₃.

Осталось только минимизировать А₂А₃. Заметим, что 
АА₁=АА₂=АА₃, откуда /А₂АА₃=2/ВАС. 
Значит, А₂А₃ прямопропорционально зависит от /ВАС и АА₁. Отсюда уменьшаем АА₁, так как угол дан. Наименьшее такое значение - высота. Значит, А₁ — основание высоты.

Но треугольник с наименьшим периметром один. Но мы можем провести все те же рассуждения для В₁ и С₁. Отсюда А₁В₁С₁ — ортотреугольник. Заметим, что при отражении основания высоты относительно стороны новая точка попадает на сторону ортотреугольника, т. к. высота «большого» треугольника является биссектрисой ортотреуголника.

Итак, мы доказали этот факт. В следующий раз поговорим о задаче Мальфатти.